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汎関数微分と鎖則

理論

概要

汎関数微分の定義

ある関数 \phi (x)を与えると、実数を与えるような関数 F[\phi (x) ]を考える。代表的なものに以下のような関数が考えられる。

\begin{align} F [ \phi (x) ] =\int f(\phi (x)) \rm{d}x \end{align}\tag{1}

上記の式で fは任意に成り立つ。ここで、 \phi (x) \rightarrow \phi (x) + \delta\phi (x)と変化したとすると関数 Fがどのように変化するのかを考える。これが汎関数微分である。まずは、以下のように \delta Fを考える。


\begin{align}
\delta F &\equiv F[\phi (x)+\delta\phi (x)] -F[\phi (x)]\tag{2}\\
\delta F &\equiv \int \frac{\delta F[\phi (x)]}{\delta\phi (x)}\delta\phi (x)\rm{d}x\tag{3}
\end{align}

(3)を導いてみる。まず、 P \equiv P(f _ 1, f_2, \cdots )を考える。そうすると Pの偏微分は以下のようになる。


\begin{align}
dP 
&= \frac{\partial P}{\partial f _ 1}\rm{d}f _ 1+\frac{\partial P}{\partial f _ 2}\rm{d}f _ 2 +\cdots\\\
&= \sum \frac{\partial P}{\partial f _ i}\rm{d}f _ i 
\end{align}

fが連続な値になると以下のようになる。

\begin{align} \delta P = \int \frac{\delta P}{\delta f _ k}\delta f _ k \rm{d}k \end{align} \tag{4}

鎖則の導出

Fが(1)で表される場合を考える。 f(\phi (x)) \equiv \phi (x) \delta (x-y)とすると F[\phi (x)] = \int\phi (x)\delta (x-y)\rm{d}x = \phi (y)が成り立つ。これを(3)に代入すると


\begin{align}
\delta F[\phi (x)] 
&= \int\frac{\delta F}{\delta\phi (x)}\delta\phi (x)\rm{d}x\\
&= \int\frac{\delta \phi (y)}{\delta\phi (x)}\delta\phi (x)\rm{d}x = \delta\phi (y)\tag{5}
\end{align}

また、デルタ関数の性質により以下の式が成り立つ。 \begin{align} \delta\phi (y) = \int\delta (x-y)\delta\phi (x)\rm{d}x\tag{6} \end{align} (5), (6)より以下の式が導かれる。

\begin{align} \delta (x-y) = \frac{\delta\phi (y)}{\delta\phi (x)}\tag{7} \end{align}